Đồ thị hiển thị tỷ lệ của hàm đếm số nguyên tố π(x) với hai giá trị gần đúng của nó, x / log x và Li(x). Khi x tăng (lưu ý trục x là logarit), cả hai tỷ lệ đều hướng về 1. Tỷ lệ cho x / log x ở hình bên trên hội tụ rất chậm, trong khi tỷ lệ cho Li(x) hội tụ nhanh hơn (hình bên dưới). Biểu đồ log-log hiển thị sai số tuyệt đối của x / log x và Li(x), hai phép tính gần đúng với hàm đếm số nguyên tố π(x). Không giống như tỷ lệ, sự khác biệt giữa π(x) và x / log x tăng không bị chặn khi x tăng. Mặt khác, giá trị của Li(x) − π(x) đảo dấu vô hạn nhiều lần.

Đặt π(x) là hàm đếm số nguyên tố cho số lượng các số nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng x, với bất kỳ số thực x nào. Ví dụ: π(10) = 4 vì có bốn số nguyên tố (2, 3, 5 và 7) nhỏ hơn hoặc bằng 10. Định lý số nguyên tố sau đó nói rằng x / log x là một xấp xỉ tốt với π(x), theo nghĩa là giới hạn của thương số giữa hai hàm π(x) và x / log x khi x tăng vô hạn, bằng 1:

lim x → ∞ π ( x ) [ x log ⁡ ( x ) ] = 1 , {\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\;\pi (x)\;}{\;\left[{\frac {x}{\log(x)}}\right]\;}}=1,}

được gọi là quy luật tiệm cận của việc phân phối số nguyên tố. Sử dụng ký hiệu tiệm cận, kết quả này có thể được trình bày lại dưới dạng

π ( x ) ∼ x log ⁡ x . {\displaystyle \pi (x)\sim {\frac {x}{\log x}}.}